Por que 142857 é um número mágico que fascina os matemáticos há séculos
Por que 142857 é um número mágico que fascina os matemáticos há séculos. — Foto: BBC
142857 é um número famoso, pelo menos em certos círculos... E também bastante brincalhão.
Ele começou a chamar a atenção de eminentes matemáticos há séculos e fascinou estudiosos da teoria dos números.
Entre seus entusiastas estão ocultistas como Willis F. Whitehead, para quem 142857 era "a expressão numérica da vida, da luz e do amor".
Mas, em um plano mais mundano, tornou-se um clássico da matemática recreativa.
Ele se popularizou graças a figuras como Martin Gardner e Shakuntala Devi — a calculadora mental indiana conhecida como a "computadora humana" — que mostraram que qualquer pessoa podia se divertir explorando suas curiosidades.
O número chegou inclusive a ter um papel de destaque no romance cult Ratner's Star (A Estrela de Ratner), de 1976, do aclamado autor pós-moderno americano Don DeLillo. Na obra, um grupo de cientistas tenta decifrar o significado de uma mensagem transmitida por uma estrela distante da Via Láctea: esses seis dígitos.
Para os mágicos, ele é especialmente atraente porque permite surpreender o público, criando a ilusão de que podem prever o que vai acontecer ou ler mentes, aproveitando suas peculiares propriedades numéricas.
Um dos truques que qualquer um de nós pode fazer começa pedindo à pessoa que você quer impressionar que pegue a calculadora do celular e escreva 10101.
Depois, sem olhar, diga para ela multiplicar esse número por qualquer número de 1 a 6, dividi-lo por 7 e, em seguida, multiplicá-lo por 99.
Mas afinal, o que torna esse número tão peculiar?
Para começar a descobrir o que há de tão surpreendente no 142857, vale a pena multiplicá-lo.
Não se preocupe: nós fazemos isso por você — basta observar o resultado.
Percebeu que todos os resultados contêm os mesmos dígitos, apenas em ordem diferente?
Mas voltemos a observar as multiplicações, porque há outras peculiaridades.
Por exemplo, quando multiplicamos 142857 por 3, o resultado é 428571.
É como se os números estivessem ligados por um fio circular invisível: se você cortar esse fio em qualquer ponto, o resultado continua seguindo o padrão no sentido horário.
Nesse caso, é como se tivéssemos cortado o fio entre os números 1 e 4, mas os dígitos que seguem o 4 mantêm a mesma ordem, até completar o círculo.
Por que 142857 é um número mágico que fascina os matemáticos há séculos. — Foto: Getty Images via BBC
Isso acontece com todos: ao multiplicá-lo por 6, o resultado começa com 8 e continua com os números que aparecem ao girar: 5, 7, 1, 4 e 2.
Mas o que acontece se você cruzar o limite e multiplicar 142857 por 7?
Se multiplicarmos 142857 por 7, algo surpreendente acontece: o resultado é 999999.
É como se, depois de seis rotações mágicas, o número quisesse continuar nos divertindo.
Já que estamos falando de noves, podemos até brincar com suas partes:
Deixamos convenientemente de fora 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 porque dá 27? Sim — embora, se formos fiéis ao padrão de resultados com o mesmo número de dígitos que a soma, 2 + 7 = 9.
Outra curiosidade é que, se você inserir um 9 no centro do número, de modo que fique 142 9 857, ao multiplicá-lo por qualquer número de 1 a 6, o produto mantém a natureza cíclica, conservando sempre um 9 no centro.
Por que 142857 é um número mágico que fascina os matemáticos há séculos. — Foto: BBC
Voltando a 142857 × 7, o resultado não é casual: está diretamente relacionado ao fato de que 142857 é o período decimal de 1/7, e essa relação explica por que seus dígitos giram com tanta harmonia e por que seu "carrossel" funciona de maneira tão perfeita.
Os seis dígitos (142857) se repetem indefinidamente. Esse bloco repetitivo é o que, na teoria dos números, se chama período da fração decimal.
Agora vem a chave: quando você divide 2, 3, 4, 5 ou 6 por 7, a sequência 142857 reaparece sempre, mas começando em um ponto diferente do ciclo.
Assim, o 999999 que apareceu quando multiplicamos 142857 por 7 não é coincidência: é o eco desse 1, que em linguagem matemática também pode ser escrito como 0,999999…
Se quiser ver isso em um exemplo mais cotidiano, divida o número de dias do ano pelo número de dias da semana:
Aí está nosso número, precedido por 52, que são as semanas de um ano.
Esse 0,142857 adicional equivale a 1 dia.
De fato, a cada ano não bissexto, o calendário "avança" um dia da semana. Por exemplo: se um ano começa numa segunda-feira, o seguinte começará numa terça-feira.
Se quiser ver essa relação entre 7 e 142857 ao contrário, aqui está:
Será que a brincadeira acaba se passarmos do 7?
À primeira vista, parece que sim. Mas, se pegarmos o resultado, separarmos o primeiro dígito e o somarmos ao restante, obtemos:
Pode parecer um pouco forçado, mas acontece que, se continuarmos fazendo o mesmo, o número cíclico aparece repetidamente, começando sempre por seus dígitos em ordem crescente (1, 2, 4, 5, 7, 8):
Algo parecido acontece ao multiplicar por 21 (2 999 997 → 2 + 999 997 = 999 999), 28, 35…
Enfim, você provavelmente já percebeu o padrão: todos são múltiplos de 7.
Os matemáticos da matemática recreativa foram ainda mais longe para ver se conseguem voltar ao número original.
Marcando 6 dígitos (n) a partir da direita e somando o restante:
E, usando o mesmo método de pegar grupos de 6 dígitos a partir da direita:
Como o resultado passa de 6 dígitos, fazemos:
Em resumo, por maior ou mais complicada que seja a trajetória, 142857 sempre encontra o caminho de volta.
Embora 7 e 142857 sejam especiais, não são únicos.
Muitos outros já foram encontrados, embora não se saiba quantos existam ao todo.
O próximo número cíclico que aparece é 0588235294117647, que é o resultado de dividir 1 por 17.
Seus 16 dígitos comportam-se de maneira semelhante: ao multiplicá-los por qualquer número de 1 a 16, o produto é sempre uma rotação cíclica desses mesmos dígitos, apenas com um "carrossel" mais longo.
E quando o multiplicamos por 17, o resultado é 9999999999999999 — isto é, 16 noves, assim como 142857 × 7 produz seis noves.
Repare em algo que os caracteriza: a quantidade de dígitos que compõem um número cíclico é sempre um a menos que o número que o gera.
Outra particularidade fundamental aparece quando observamos os números menores que 100 que geram números cíclicos:
Todos são números primos (apenas divisível por 1 e por si próprio).
Embora nem todos os números primos produzam um número cíclico, todos os números cíclicos nascem de um primo.
Para ter essa "capacidade de criar" números cíclicos, o número primo precisa cumprir uma propriedade especial: ao dividir 1 por ele, deve-se obter uma sequência repetitiva de dígitos cuja extensão é exatamente um a menos que o valor do número.
Até hoje, os números cíclicos não têm aplicações práticas diretas em engenharia, finanças ou ciência aplicada, mas já foram úteis em áreas como a teoria dos números, a criptografia teórica e a teoria da codificação.
FONTE ORIGINAL DA NOTCIA:
https://g1.globo.com/educacao/noticia/2026/08/16/por-que-142857-e-um-numero-magico-que-fascina-os-matematicos-ha-seculos.ghtml